Giæver tok handelsgymnasiet 1920. Han begynte sin karriere som handelsbetjent på handelsstedet Havnnes i Lyngenfjorden og i Vesterålen. Senere var han journalist og senere redaktør i Tromsø 1921-29.

Giævers store interesse var fangst og forskning i polområdene. Han dro på selfangst som gast i Kvitsjøen, Vestisen ved Jan Mayen og Newfoundland og var fangstmann på Nordøst-Grønland 1929-31. 1932-34 var han leder av fangstekspedisjon på Nordøst-Grønland samt deltager i den norske okkupasjonen av Grønland (Erik Raudes Land) 1931-33. Fra 1935 var Giæver sekretær ved Norges Svalbard- og Ishavsundersøkelser (senere Norsk Polarinstitutt). Etter krigen kom han tilbake som kontorsjef ved Polarinstituttet fra mars 1948 til 1960. Han deltok i ekspedisjonen rundt Svalbard 1936. Giæver ledet den norske stats avløsningsekspedisjoner til de norske fangst- og radiostasjoner på Nordøst-Grønland fra 1937 til 1940, videre i periodene 1945-47 og 1953-57. Fra 1949 til 1952 var han leder for den norsk-britisk-svenske vitenskapelige ekspedisjonen til Antarktis, også kjent som Maudheimekspedisjonen etter navnet på ekspedisjonens base. Ekspedisjonen er blitt regnet som en milepæl for norsk antarktisforskning etter krigen.